label {
font-family: Heebo, Arial, sans-serif;
font-weight: bold;
}
סמנו ב-✔, או בטלו את הסימון, כדי להראות/להחביא את החלקים השונים:הגדרותמשפטיםהוכחותדוגמאותלחצו על תגיות ה-"הוכחה." כדי להראות/להחביא הוכחות
כל פקודה תתחיל ב-MKגדולות עש מיכאל קלי (Michael Kali), וזאת משתי סיבות:
כדי שבטבלת הקיצורים שבתוך \SpecialChar LyX תופענה כל הפקודות זו לצד זו.
הבחירה דווקא באותיות גדולות נועדה לוודא שהפקודות אינן מתנגשות עם פקודות \SpecialChar LaTeX מקוריות.
על הפקודות להיות קצרות ככל האפשר, וזאת כדי לאפשר את כתיבתן במהירות מבלי ליצור להן קיצור מקלדת. הסיבה לכך שלא ניצור קיצור מקלדת לכל פקודה היא שפעמים רבות ניצור פקודות שתיועדנה למקרים מסוימים מאוד, ואז יעבור זמן רב עד שנשתמש בקיצור המקלדת בפעם הבאה ולכן לא נזכור אותו - הרבה יותר פשוט לזכור את הפקודה שיצרנו מכיוון שיש לה תוכן אמיתי שקשור לפלט הרצוי מן הפקודה. סיבה נוספת היא שיצירת קיצור מקלדת לכל פקודה ולו החריגה ביותר תקשה עלינו ליצור קיצורי מקלדת לפקודות חשובות יותר. לפיכך פקודות שימושיות מאוד שבוודאי ניצור להן קיצור מקלדת ונשתמש בו פעמים רבות אינן צריכות להיות קצרות.
כדי להקל על כתיבת פקודות שלא יצרתי להן קיצור מקלדת כתבתי קיצור מקלדת שיוצר את הקידומת של כל פקודות ה-macrosשלי ואז כל מה שנותר הוא להקיש שלוש-ארבע אותיות כדי לבחור את הפקודה הרצויה, קיצור המקלדת המדובר הוא "Ctrl+k".
לכל גופן יש קידומת בת שתי אותיות.
\(\:\)
\(\:\)קבוצות ופונקציות לפי קורסיםLatexCommand ruleoffset "0.5ex"width "100col%"height "1pt"\(\:\)
\(\:\)המספרים המרוכבים ופונקציות מרוכבות\(\:\)
\(\newcommand{\MKcis}{\text{cis}}\)\(\cos+i\cdot\sin\). המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKre}{\text{Re}}\)החלק הממשי של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.
\(\newcommand{\MKim}{\text{Im}}\)החלק המדומה של מספר מרוכב. המספרים המרוכבים.מופיע גם כתמונה של פונקציה.
\(\newcommand{\MKbigcupdot}{\bigsqcup}\)איחוד זר גדול
הקוד שלהלן מייצר את הסימון לאיחוד זר כסימן של איחוד רגיל עם נקודה בתוכו. הקוד מבוסס על זה שמופיע בתגובה הרביעית שבשרשור הזה: https://tex.stackexchange.com/questions/3964/mathematical-symbol-for-disjoint-set-union.
הגדרה 1.1. מרחבי ביניים\(\:\) יחס ביניים\(\MKclb\) על קבוצה לא ריקה \(\MKbbx\) הוא יחס על שלשות של נקודות ב-\(\MKbbx\) (כלומר \(\MKclb\subseteq\MKbbx^{3}\)) המקיים ארבע התכונות שתפורטנה להלן.
סימון:
לכל שלוש נקודות \(a,b,c\in\MKbbx\), נאמר ש-\(b\)נמצאת בין\(a\) ל-\(c\) אם \(\left(a,b,c\right)\in\MKclb\). כמו כן, לכל שתי נקודות \(a,b\in\MKbbx\) נסמן ב-\(\left[a,b\right]\) את קבוצת כל הנקודות שבין \(a\) ל-\(b\) ונקרא ל-\(\left[a,b\right]\)הקטע הסגור שבין \(a\) ל-\(b\).
שלוש התכונות המגדירות יחס ביניים הן:
רפלקסיביות - לכל \(a,b\in\MKbbx\) מתקיים \(a\in\left[a,b\right]\).
אנטי-סימטריה - לכל \(a,x\in\MKbbx\) כך ש-\(x\in\left[a,a\right]\) מתקיים \(a=x\)1"אין בין \(a\) ל-\(a\) אלא \(a\)" (ראה משנה, מסכת מגילה, פרק א', משניות ד'-י\). (או בפשטות \(\left[a,a\right]\subseteq\left\{ a\right\} \) ומהרפלקסיביות \(\left[a,a\right]=\left\{ a\right\} \)).
סימטריה - לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},x\in\MKbbx\), אם \(x\in\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\right]\) אז \(x\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{red}\boldsymbol{a}}\right]\) (או בפשטות \(\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\right]=\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{red}\boldsymbol{a}}\right]\)).
טרנזיטיביות - לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\), אם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right]\) וגם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right]\), אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right]\) ו-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right]\).
מרחב ביניים הוא זוג סדור \(\left(\MKbbx,\MKclb\right)\) כך ש-\(\MKclb\) הוא יחס ביניים על \(\MKbbx\).
דוגמה 1.2. כל מרחב מטרי \(\left(\MKbbx,d\right)\) מגדיר מרחב ביניים \(\left(\MKbbx,\MKclb\right)\) באופן הבא (נאמר ש-\(\MKclb\)מושרה מ-\(d\)):\[
\MKclb:=\left\{ \left(x,y,z\right)\in\MKbbx^{3}\mid d\left(x,z\right)=d\left(x,y\right)+d\left(y,z\right)\right\}
\]הרפלקסיביות והאנטי-סימטריה נובעות מהחיוביות בהחלט של המטריקה, והסימטריה נובעת מהסימטריה של המטריקה. הטרנזיטיביות נובעת מאי-שוויון המשולש ודורשת הוכחה קצרה:
האם כל יחס ביניים מושרה ממטריקה? אם לא, מהם התנאים הנדרשים לכך?
יהי \(\MKbbx\) מרחב ביניים2מכיוון שאנו משתמשים בסימון \(b\in\left[a,c\right]\) במקום \(\left(a,b,c\right)\in\MKclb\), לא נזכיר את היחס \(\MKclb\) במפורש מעתה והלאה..
סימון:
לכל \(a,b\in\MKbbx\) נסמן \(\left[a,b\right):=\left[a,b\right]\setminus\left\{ b\right\} \), \(\left(a,b\right]:=\left[a,b\right]\setminus\left\{ a\right\} \) ו-\(\left(a,b\right):=\left[a,b\right]\setminus\left\{ a,b\right\} \). \(\left(a,b\right)\) ייקרא הקטע הפתוח שבין \(a\) ל-\(b\) ושני האחרים ייקראו קטעים חצי-פתוחים חצי-סגורים.
מסקנה 1.3. מתקיימות שלוש התכונות הבאות:
א-רפלקסיביות ואנטי-סימטריה - לכל \(a,x\in\MKbbx\) מתקיים \(x\notin\left(a,a\right)\) (או בפשטות \(\left(a,a\right)=\emptyset\)).
סימטריה - לכל \(a,b,x\in\MKbbx\) מתקיים \(x\in\left(a,b\right)\) אם"ם \(x\in\left(b,a\right)\) (או בפשטות \(\left(a,b\right)=\left(b,a\right)\)).
טרנזיטיביות - לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\), אם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) וגם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) ו-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
מסקנה 1.4. לכל \(a,b,c\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left[a,c\right]\), מתקיים \(\left[a,b\right]\subseteq\left[a,c\right]\), \(\left(a,b\right)\subseteq\left(a,c\right)\), \(\left[b,c\right]\subseteq\left[a,c\right]\) ו-\(\left(b,c\right)\subseteq\left(a,c\right)\).
הוכחה. נובע ישירות מטרנזיטיביות (ומסימטריה).
מסקנה 1.5. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), מתקיים \(\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right]\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
הוכחה. לפי המסקנה הקודמת (corollary_1.4) מתקיים:\[
\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)
\]מטרנזיטיביות נובע ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), ונתון ש-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), מכאן ש-\(\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right]\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
מסקנה 1.6. לכל \(a,b,c\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\), מתקיים \(c\notin\left(a,b\right)\) ו-\(a\notin\left(b,c\right)\).
הוכחה. תהיינה \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\), ונניח בשלילה ש-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{b}}\right)\) (אותה הוכחה תהיה תקפה עבור \(a\notin\left(b,c\right)\) עד כדי החלפה של \(a\) ו-\(c\) בכל מקום). אם כן, מהטרנזיטיביות נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{b}}\right)\) בסתירה לא-רפלקסיביות ואנטי-סימטריה (מסקנה corollary_1.3).
טענה 1.7. לכל \(a,b,c\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\), מתקיים \(\left(a,b\right)\cap\left(b,c\right)=\emptyset=\left(b,b\right)\) ו-\(\left[a,b\right]\cap\left[b,c\right]=\left\{ b\right\} =\left[b,b\right]\).
הוכחה. תהיינה \(a,b,c\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\), ונניח בשלילה שקיימת נקודה \(p\in\left(a,b\right)\cap\left(b,c\right)\). אם כן מהטרנזיטיביות נובע ש-\(b\in\left(p,c\right)\) (כי \(p\in\left(a,b\right)\) ו-\(b\in\left(a,c\right)\)), אך זאת בסתירה למסקנה corollary_1.6. כמו כן ע"פ מסקנה corollary_1.6 מתקיים: \[\begin{align*}
\left[a,b\right]\cap\left[b,c\right] & =\left[\left(a,b\right)\MKcupdot\left\{ a,b\right\} \right]\cap\left[\left(b,c\right)\MKcupdot\left\{ b,c\right\} \right]\\
& =\left(\left[\left(a,b\right)\MKcupdot\left\{ a,b\right\} \right]\cap\left(b,c\right)\right)\MKcupdot\left(\left[\left(a,b\right)\MKcupdot\left\{ a,b\right\} \right]\cap\left\{ b,c\right\} \right)\\
& =\left(\left[\left(a,b\right)\cap\left(b,c\right)\right]\MKcupdot\left[\left\{ a,b\right\} \cap\left(b,c\right)\right]\right)\MKcupdot\left(\left[\left(a,b\right)\cap\left\{ b,c\right\} \right]\MKcupdot\left[\left\{ a,b\right\} \cap\left\{ b,c\right\} \right]\right)\\
& =\left(\emptyset\MKcupdot\emptyset\right)\MKcupdot\left(\emptyset\MKcupdot\left\{ b\right\} \right)=\left\{ b\right\}
\end{align*}\]
הגדרה 1.8. קבוצה \(S\subseteq\MKbbx\) תיקרא קווית אם לכל שלוש נקודות ב-\(S\), אחת משתי הנקודות נמצאת בין שתי האחרות. כמו כן, נאמר ש-\(n\) נקודות \(\MKseq x,n\in\MKbbx\) הן קוויות, אם הקבוצה \(\left\{ \MKseq x,n\right\} \) קווית.
הגדרה 1.9. קבוצה קווית \(L\subseteq\MKbbx\) תיקרא קו אם היא קבוצה קווית מרבית, כלומר לכל קבוצה קווית \(S\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(L\subseteq S\) מתקיים \(S=L\).
מסקנה 1.10. תהא \(S\subseteq\MKbbx\), התנאים הבאים שקולים:
\(S\) קווית.
כל תת-קבוצה של \(S\) היא קבוצה קווית.
כל שלוש נקודות ב-\(S\) הן קוויות.
לכל שלוש נקודות שונות בדיוק אחת משלושתן נמצאת בין שתי האחרות.
\(\clubsuit\)
בגאומטריה האוקלידית (וגם בגאומטריה ההיפרבולית), אם החיתוך של שתי קבוצות קוויות כולל שתי נקודות שונות אז גם האיחוד שלהם הוא קבוצה קווית, ולכן דרך כל שתי נקודות שונות עובר קו יחיד. האקסיומות שלנו לא מספיקות לכך ולכן אנחנו נדרשים להגדרה של מרחבים מכוונים.
2 מרחבים מכוונים
יהי \(\MKbbx\) מרחב ביניים.
2.1 הגדרה וטענות בסיסיות
הגדרה 2.1. מרחבים מכוונים\(\:\) נאמר ש-\(\MKbbx\) הוא מרחב מכוון אם לכל ארבע נקודות \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) מתקיימות התכונות הבאות:
טרנזיטיביות חזקה - אם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\)3ומהסימטריה בין \(\boldsymbol{{\color{red}a}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{orange}d}}\) ובין \(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\) ל-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\) נובע שגם \(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{orange}d}}\right)\)..
טריכוטומיה - אם \({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\), אז \({\color{blue}\boldsymbol{b}}={\color{orange}\boldsymbol{d}}\), או ש-\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\right)\), או ש-\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\).
אי-התפצלות - אם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}={\color{orange}\boldsymbol{d}}\), או ש-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), או ש-\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\).
\(\clubsuit\)
מטריכוטומיה, ממסקנה corollary_1.4, ומטענה claim_1.7 נובע שאם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) אז:\[
\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)=\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\right)\MKcupdot\left\{ {\color{blue}\boldsymbol{b}}\right\} \MKcupdot\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)
\]
\(\clubsuit\)
נניח כי \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) (כדי שיהיה על מה לדבר), ונשים לב לקשר שבין טרנזיטיבות לטרנזיטיביות חזקה ולאי-התפצלות:
בטרנזיטיביות אם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), ואילו בטרנזיטיביות חזקה אם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
בטרנזיטיביות אם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) אז \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), ואילו באי-התפצלות אם \({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) אז \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) (או שמתקיימות שתי אפשרויות אחרות שנובעות מהסימטריה בין \({\color{green}\boldsymbol{c}}\) ל-\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\) בהנחות של אי-התפצלות).
כלומר טרנזיטיביות חזקה ואי-התפצלות הם גרירות הפוכות לגרירות של הטרנזיטיביות הרגילה.
תרגיל 2.2. הוכיחו ששלוש התכונות של מרחב מכוון אינן תלויות זו בזו. הדרכה: ניתן לעשות זאת ע"י מציאת מרחבים מטריים4ראו דוגמה example_1.2. שמקיימים בדיוק שתיים מהאקסיומות (לכל בחירה של שתיים), וחיבורם זה לזה ליצירת מרחבים מטריים שמקיימים רק אקסיומה אחת (לכל בחירה של אחת), או אף כאלה שאינם מקיימים אף אקסיומה.
מסקנה 2.3. נניח ש-\(\MKbbx\) מקיים טריכוטומיה. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},\boldsymbol{{\color{green}b}}\in\MKbbx\), ולכל \({\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{y}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\), מתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות:
טענה 2.4. נניח ש-\(\MKbbx\) מקיים טריכוטומיה. לכל \(a,b\in\MKbbx\) הקטע הסגור \(\left[a,b\right]\) הוא קבוצה קווית, וממילא גם הקטעים \(\left[a,b\right)\), \(\left(a,b\right]\) ו-\(\left(a,b\right)\) המוכלים בו הם קבוצות קוויות (מסקנה corollary_1.10).
הוכחה. תהיינה \(a,b\in\MKbbx\) שתי נקודות שונות5אם \(a=b\) אז \(\left[a,b\right]=\left\{ a\right\} \) וזו קבוצה קווית באופן טריוויאלי., ותהיינה \(x,y,z\in\left[a,b\right]\) שלוש נקודות שונות. נחלק למקרים:
אם \(a,b\in\left\{ x,y,z\right\} \) אז הטענה טריוויאלית.
אם \(a\in\left\{ x,y,z\right\} \) ו-\(b\notin\left\{ x,y,z\right\} \) נניח בהג"כ ש-\(a=z\), ומכאן ש-\(x,y\in\left(a,b\right)\), ולכן ע"פ המסקנה הקודמת (corollary_2.3) מתקיימת אחת משתי האפשרויות \(x\in\left(a,y\right)=\left(z,y\right)\) או \(y\in\left(a,x\right)=\left(z,x\right)\).
אם \(a,b\notin\left\{ x,y,z\right\} \) אז \(x,y,z\in\left(a,b\right)\), ולכן לפי המסקנה הקודמת מתקיימת אחת האפשרויות הבאות (נזכור ש-\(a,b,x,y,z\) שונות):
\({\color{blue}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{y}}\right)\)וגם ע"פ המסקנה הקודמת מתקיימת אחת האפשרויות הבאות (נזכור ש-\(x,y,z\) שונות):
\({\color{green}\boldsymbol{y}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{z}}\right)\) - במקרה זה נובע מטרנזיטיביות ש-\({\color{green}\boldsymbol{y}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{z}}\right)\).
\(z\in\left(a,y\right)\) - במקרה זה נובע מהמסקנה הקודמת ש-\(z\in\left(x,y\right)\) או ש-\(x\in\left(z,y\right)\).
\({\color{blue}\boldsymbol{x}}\in\left({\color{green}\boldsymbol{y}},{\color{red}\boldsymbol{b}}\right)\) וגם ע"פ המסקנה הקודמת מתקיימת אחת האפשרויות הבאות (נזכור ש-\(x,y,z\) שונות):
\({\color{green}\boldsymbol{y}}\in\left({\color{orange}\boldsymbol{z}},{\color{red}\boldsymbol{b}}\right)\) - במקרה זה נובע מטרנזיטיביות ש-\({\color{green}\boldsymbol{y}}\in\left({\color{orange}\boldsymbol{z}},{\color{blue}\boldsymbol{x}}\right)\).
\(z\in\left(y,b\right)\) - במקרה זה נובע מהמסקנה הקודמת ש-\(z\in\left(y,x\right)\) או ש-\(x\in\left(y,z\right)\).
טענה 2.5. נניח ש-\(\MKbbx\) מקיים טריכוטומיה. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) מתקיים \(\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)=\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
הוכחה. יהיו \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\). ע"פ מסקנה corollary_1.4 מתקיים \(\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), לכן נותר להוכיח רק את ההכלה בכיוון ההפוך. תהא \({\color{violet}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\); ממסקנה corollary_2.3, ומהעובדה ש-\({\color{violet}\boldsymbol{p}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\), נובע שמתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
\({\color{violet}\boldsymbol{p}}={\color{blue}\boldsymbol{b}}\) - בלתי אפשרי כי \({\color{violet}\boldsymbol{p}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},\boldsymbol{{\color{violet}p}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{violet}p}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}b}},\boldsymbol{{\color{green}c}}\right)\) - כמו שרצינו להוכיח.
\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{violet}p}},\boldsymbol{{\color{green}c}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{violet}p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},\boldsymbol{{\color{blue}b}}\right)\) - בלתי אפשרי כי אז נקבל ש-\(\boldsymbol{{\color{violet}p}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},\boldsymbol{{\color{blue}b}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), בסתירה לטענה claim_1.7 ולכך ש-\(\boldsymbol{{\color{blue}b}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{orange}d}}\right)\) (טרנזיטיביות).
\(\boldsymbol{{\color{violet}p}}\) הנ"ל הייתה שרירותית ולכן נסיק מכאן ש-\(\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\subseteq\left(\boldsymbol{{\color{blue}b}},\boldsymbol{{\color{green}c}}\right)\) וממילא \(\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)=\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
מסקנה 2.6. נניח ש-\(\MKbbx\) מקיים טריכוטומיה וטרנזיטיביות חזקה. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), מתקיים \(\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)=\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
הוכחה. מטרנזיטיביות חזקה נובע שלכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) מתקיים גם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), ולכן ע"פ הטענה הקודמת (claim_2.5) מתקיים גם \(\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)=\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\cap\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
מסקנה 2.7. נניח ש-\(\MKbbx\) מקיים טרנזיטיביות חזקה. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), מתקיים \(\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right]\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
הוכחה. מטרנזיטיביות חזקה נובע שלכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\) מתקיים גם \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), ולכן לפי מסקנה corollary_1.5 מתקיים \(\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right]\subseteq\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\).
2.2 כיוונים
הגדרה 2.8. תהיינה \(a,b,o\in\MKbbx\) שלוש נקודות. נאמר ש-\(b\) נמצאת באותו כיוון של \(a\) ביחס ל-\(o\) אם \(b\in\left(o,a\right]\) ו/או ש-\(a\in\left(o,b\right]\).
סימון:
תהיינה \(a,o\in\MKbbx\) שתי נקודות, נסמן ב-\(R_{oa}\) את קבוצת כל הנקודות הנמצאות באותו כיוון של \(a\) ביחס ל-\(o\), ונקרא ל-\(R_{oa}\)הקרן היוצאת מ-\(o\)לכיוון\(a\).
סימון:
תהא \(o\in\MKbbx\) נקודה, נסמן \(R_{o}:=\left\{ R_{oa}\mid o\neq a\in\MKbbx\right\} \) - זוהי קבוצת הקרנות היוצאות מ-\(o\).
טענה 2.9. אם \(\MKbbx\) מקיים טריכוטומיה ואי-התפצלות אם"ם לכל נקודה \(o\in\MKbbx\), \(R_{o}\) היא חלוקה של \(\MKbbx\setminus\left\{ o\right\} \).
\(\clubsuit\)
כלומר במרחב מכוון היחס "להיות באותו כיוון ביחס ל-\(o\)" הוא יחס שקילות על \(\MKbbx\setminus\left\{ o\right\} \), וזאת לכל נקודה \(o\in\MKbbx\).
הוכחה. \(\:\)
\(\Longleftarrow\) נניח ש-\(\MKbbx\) הוא מרחב מכוון, ותהיינה \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) ארבע נקודות כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\).
2.3 דרך שתי נקודות עובר קו אחד ויחיד
למה 2.10. נניח ש-\(\MKbbx\) הוא מרחב מכוון. לכל \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq b\), אם \(\left\{ a,b,c\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,d\right\} \) הן קבוצות קוויות אז גם \(\left\{ a,b,c,d\right\} \) היא קבוצה קווית.
הוכחה. תהיינה \(a,b,x,y\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq b\), ונניח ש-\(\left\{ a,b,x\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,y\right\} \) הן קבוצות קוויות. נניח בהג"כ ש-\(x\in\left[a,b\right]\) ו/או \(b\in\left[a,x\right]\) (אך לא \(a\in\left(b,x\right)\)). כעת נחלק למקרים (מהיות \(\left\{ a,b,y\right\} \) קווית נובע שאלו כל המקרים).
נניח ש-\(y\in\left[a,b\right]\).
אם \(x\in\left[a,b\right]\) אז \(\left\{ a,b,x,y\right\} \subseteq\left[a,b\right]\), ומכיוון ש-\(\left[a,b\right]\) היא קבוצה קווית לפי טענה claim_2.4 (טריכוטומיה), הרי שגם \(\left\{ a,b,x,y\right\} \) קווית.
ואם \(b\in\left[a,x\right]\) אז ע"פ מסקנה corollary_1.4 מתקיים \(y\in\left[a,b\right]\subseteq\left[a,x\right]\), ומטרנזיטיביות נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{y}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right]\) (כי \(\boldsymbol{{\color{blue}y}}\in\left[\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{green}b}}\right]\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}b}}\in\left[\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{orange}x}}\right]\)).
נניח ש-\(a\in\left[y,b\right]\).
אם \(x\in\left[a,b\right]\) אז ע"פ טענה corollary_1.4 מתקיים \(x\in\left[a,b\right]\subseteq\left[y,b\right]\), ומטרנזיטיביות נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{a}}\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{y}}\right]\) (כי \(\boldsymbol{{\color{blue}x}}\in\left[\boldsymbol{{\color{red}b}},\boldsymbol{{\color{green}a}}\right]\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}a}}\in\left[\boldsymbol{{\color{red}b}},\boldsymbol{{\color{orange}y}}\right]\)).
ואם \(b\in\left[a,x\right]\) אז מטרנזיטיביות חזקה נובע ש-\({\color{blue}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{y}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right]\) (כי \({\color{blue}\boldsymbol{a}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{y}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right]\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{x}}\right]\)6נזכור ש-\(a\neq b\).).
נניח ש-\(b\in\left[a,y\right]\).
אם \(x\in\left[a,b\right]\) אז ע"פ טענה corollary_1.4 מתקיים \(x\in\left[a,b\right]\subseteq\left[a,y\right]\), ומטרנזיטיביות נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{y}}\right]\) (כי \(\boldsymbol{{\color{blue}x}}\in\left[\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{green}b}}\right]\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}b}}\in\left[\boldsymbol{{\color{red}a}},\boldsymbol{{\color{orange}y}}\right]\)).
ואם \(b\in\left[a,x\right]\) אז מאי-התפצלות נובע שמתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
\(b=x\) ו/או \(b=y\) ו/או \(x=y\) - במקרה זה הטענה טריוויאלית.
\(x\in\left(a,y\right)\) - במקרה זה בדיקה פשוטה מראה ש-\(\left\{ a,b,x,y\right\} \) קווית ע"פ הגדרה.
\(y\in\left(a,x\right)\) - במקרה זה בדיקה פשוטה מראה ש-\(\left\{ a,b,x,y\right\} \) קווית ע"פ הגדרה.
משפט 2.11. נניח ש-\(\MKbbx\) הוא מרחב מכוון, ויהי \(\MKcls\subseteq\MKclp\left(\MKbbx\right)\) אוסף של קבוצות קוויות. אם קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\), כך ש-\(a,b\in S\) לכל \(S\in\MKcls\), אז \({\displaystyle \bigcup_{S\in\MKcls}S}\) היא קבוצה קווית.
הוכחה. נניח שקיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) כך ש-\(a,b\in S\) לכל \(S\in\MKcls\), ותהיינה \(a,b\in\MKbbx\) כאלה. תהיינה \(x,y,z\in\bigcup_{S\in\MKcls}S\), ע"פ הלמה (lemma_2.8) \(\left\{ a,b,x,y\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,x,z\right\} \) קוויות, וממילא \(\left\{ b,x,y\right\} \) ו-\(\left\{ b,x,z\right\} \) גם הן קוויות. ושוב נקבל מהלמה ש-\(\left\{ b,x,y,z\right\} \) קווית וממילא \(\left\{ x,y,z\right\} \) קווית. \(x,y,z\) היו שרירותיות ולכן ע"פ מסקנה corollary_1.10 הקבוצה \(\bigcup_{S\in\MKcls}S\) קווית.
מסקנה 2.12. נניח ש-\(\MKbbx\) הוא מרחב מכוון, לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) קיים קו יחיד \(L\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(a,b\in L\). ובאופן שקול: במרחב מכוון, לכל שני קווים שונים יש לכל היותר נקודת חיתוך7תזכורת: נקודת חיתוך של שתי קבוצות היא נקודה השייכת לחיתוך שלהן, כמובן שעבור סתם שתי קבוצות אין הכרח שתהיה נקודה כזו או שתהיה רק אחת. אחת.
\(\:\)
3 מרחבים סְפֵירִיִּים
\(\clubsuit\)
אחד המרחבים המטריים המעניינים ביותר הוא הסְפֵירָה: המרחק בין שתי נקודות הוא אורך הקשת הקצרה ביותר המחברת בין שתי הנקודות במעגל שמרכזו הוא מרכז הסְפֵירָה. אם נתבונן בשתי נקודות אנטיפודיות על הסְפֵירָה נגלה שישנן אין-סוף קשתות כאלה העוברות דרך כל הנקודות בסְפֵירָה, כתוצאה מכך כל נקודה על הסְפֵירָה נמצאות בין כל שתי נקודות אנטיפודיות. כך למשל אם אנו עומדים בקוטב הצפוני, כל כיוון שנלך אליו יהיה "דרומה" - כלומר יהיה על מסלול בעל האורך הקצר ביותר המוביל לקוטב הדרומי שהוא הנקודה האנטיפודית לקוטב הצפוני. פרק זה ינסה תחילה להכליל את יחס הביניים הנגזר מהמרחק על הסְפֵירָה למרחב ביניים כללי (ללא שימוש במטריקה) - מרחבים כאלה ייקראו מרחבים סְפֵירִיִּים. לאחר מכן, נסיק כמה מסקנות על מרחבים סְפֵירִיִּים שיחס הביניים שלהם מושרה ממטריקה.
\(\clubsuit\)
אם הרדיוס של סְפֵירָה הוא \(1\), אז המרחק בין שתי נקודות שבה הוא בדיוק גודל הזווית ששתי נקודות אלו יוצרות עם מרכז הספירה, כשהיא נמדדת ברדיאנים8ואם הרדיוס אינו \(1\) אז זהו גודל הזווית ביחידת מידה אחרת.... מכיוון שכך ניתן לראות במושג המרחק על סְפֵירָה מייצג של רעיון הזווית בין שתי קרנות.
יהי \(\MKbbx\) מרחב ביניים.
3.1 הגדרות וטענות בסיסיות
הגדרה 3.1. תהיינה \(a,b,o\in\MKbbx\) שלוש נקודות. נאמר ש-\(a\) ו-\(b\) נמצאות בכיוונים מנוגדים ביחס ל-\(o\) אם \(o\in\left(a,b\right)\).
הגדרה 3.2. נאמר ששתי נקודות \(a,b\in\MKbbx\) הן אנטיפודיות זו לזו, אם הן נמצאות בכיוונים מנוגדים זו לזו ביחס לכל נקודה \(o\in\MKbbx\setminus\left\{ a,b\right\} \); או במילים אחרות \(\MKbbx=\left[a,b\right]\).
מסקנה 3.3. אם יש במרחב ביניים שתי נקודות שונות, אז כל שתי נקודות אנטיפודיות הן שונות.
מסקנה 3.4. לכל נקודה במרחב ביניים יש לכל היותר נקודה אנטיפודית אחת.
סימון:
יהי \(\MKbbx\) מרחב ביניים, לכל \(x\in\MKbbx\) כך שיש ל-\(x\) נקודה אנטיפודית, נסמן ב-\(-x\) את אותה נקודה אנטיפודית (אם כן \(-\left(-x\right)=x\)). כמו כן, לכל \(x\in\MKbbx\) נסמן \(+x:=x\).
\(\clubsuit\)
לא מדובר כאן בנגדי (אין פעולת חיבור), אך הסימון אינו מקרי: אם הספירה משוכנת במרחב \(\MKreal^{n}\) כך שמרכזה בראשית הצירים, אז הנקודה האנטיפודית ל-\(a\) היא אכן \(-a\).
הגדרה 3.5. מרחבים ספיריים\(\:\) מרחב ביניים \(\MKbbx\) ייקרא ספירי (קרי: סְפֵירִי), אם לכל ארבע נקודות \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\) אינה אנטיפודית ל-\(\boldsymbol{{\color{red}a}}\), מתקיימות התכונות הבאות:
אנטיפודיות - לכל נקודה ב-\(\MKbbx\) יש נקודה אנטיפודית.
טריכוטומיה ספירית - אם \({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\), אז \({\color{blue}\boldsymbol{b}}={\color{orange}\boldsymbol{d}}\), או ש-\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}}\right)\), או ש-\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\).
יהי \(\MKbbx\) מרחב ביניים ספירי.
מסקנה 3.6. לכל \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{red}\boldsymbol{a}}\neq-{\color{green}\boldsymbol{b}}\), ולכל \({\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{y}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\), מתקיימת בדיוק אחת משלוש האפשרויות הבאות:
הוכחה. נובע ישירות מטריכוטומיה ספירית ומטרנזיטיביות.
משפט 3.7. אי-התפצלות\(\:\) לכל ארבע נקודות \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), מתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
הוכחה. תהיינה \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(b\in\left(a,d\right)\), ונניח תחילה ש-\(c\) ו-\(d\) אינן אנטיפודיות ל-\(a\). מהעובדה ש-\(c,d\in\left(a,-a\right)\)9ע"פ ההנחה \(c\) ו-\(d\) אינן אנטיפודיות ל-\(a\), והן שונות מ-\(a\) שכן \(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(b\in\left(a,d\right)\). נובע ש-\({\color{blue}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{-a}}\right)\) (טרנזיטיביות), ולכן ממהמסקנה האחרונה (corollary_3.6) נובע שמתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
הוכחה. אם \(c=-a\) ו/או \(d=-a\) אז נניח בהג"כ ש-\(c=-a\), ומכאן ש-\(d\in\left(a,c\right]\), כלומר \(c=d\) או ש-\(d\in\left(a,c\right)\).
משפט 3.8. טרנזיטיביות חזקה ספירית\(\:\) לכל ארבע נקודות \({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{c}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\MKbbx\) כך ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), אם \(\boldsymbol{{\color{green}c}}\neq-\boldsymbol{{\color{red}a}}\) אז מתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
הוכחה. תהיינה \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(b\in\left(a,c\right)\) ו-\(c\in\left(b,d\right)\), ובנוסף \(c\neq-a\). מכיוון ש-\(b\in\left(a,c\right)\) נדע ש-\(a\neq c\), ממילא \(c\in\left(a,-a\right)\), ולכן מטרנזיטיביות נובע ש-\({\color{blue}\boldsymbol{c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{b}},{\color{green}\boldsymbol{-a}}\right)\). כבר נתון ש-\(\boldsymbol{{\color{blue}c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}b}},{\color{orange}\boldsymbol{d}}\right)\), ולכן ע"פ משפט non_branching מתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
\({\color{orange}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{blue}\boldsymbol{c}},{\color{green}\boldsymbol{-a}}\right)\) - אם כן \({\color{blue}\boldsymbol{d}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{-a}},{\color{green}\boldsymbol{c}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}c}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{-a}},{\color{orange}\boldsymbol{a}}\right)\), ולכן ע"פ מסקנה corollary_1.3 (טרנזיטיביות) מתקיים \({\color{green}\boldsymbol{c}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}d}},\boldsymbol{{\color{orange}a}}\right)\).
למה 3.9. לכל \(a,b\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq\pm b\), ולכל \(x\in\left[a,b\right]\), מתקיים \(-x\notin\left[a,b\right]\).
הוכחה. נניח בשלילה ששקיימת \(x\in\left[a,b\right]\) כך שגם \(-x\in\left[a,b\right]\), ונחלק למקרים:
אם \({\color{blue}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{-x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{b}}\right)\) אז ע"פ מסנקה corollary_3.6 שמתקיימת אחת משלוש האפשרויות הבאות:
\({\color{blue}\boldsymbol{x}}={\color{orange}\boldsymbol{-x}}\) - בלתי אפשרי (מסקנה corollary_3.3, נזכור ש-\(a\neq b\)).
\({\color{orange}\boldsymbol{-x}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{a}},\boldsymbol{{\color{blue}x}}\right)\) - מכאן ש-\(\left(-x,x\right)\subseteq\left(a,x\right)\subseteq\left(a,b\right)\), בסתירה לכך ש-\(a\in\left(-x,x\right)\) (כי \(a\neq\pm x\)) ו-\(a\notin\left(a,b\right)\).
\(\boldsymbol{{\color{orange}-x}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}x}},\boldsymbol{{\color{green}b}}\right)\) - מכאן ש-\(\left(x,-x\right)\subseteq\left(x,b\right)\subseteq\left(a,b\right)\), ושוב קיבלנו את אותה סתירה.
אם \(x=a\) אז מהעובדה ש-\({\color{blue}\boldsymbol{b}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{x}},{\color{green}\boldsymbol{-x}}\right]=\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{green}\boldsymbol{-a}}\right]\) ו-\({\color{green}\boldsymbol{-a}}={\color{green}\boldsymbol{-x}}\in\left[{\color{red}\boldsymbol{a}},{\color{orange}\boldsymbol{b}}\right]\) נובע ש-\({\color{green}\boldsymbol{-a}}\in\left[{\color{blue}\boldsymbol{b}},{\color{orange}\boldsymbol{b}}\right]\) (טרנזיטיביות), כלומר \(b=-a\) בסתירה להנחה.
המקרה שבו \(-x=a\) שקול למקרה הקודם.
המקרים שבהם \(x=b\) או \(-x=b\) שקולים לשני המקרים הקודמים.
מסקנה 3.10. לכל \(a,b\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq-b\), הקטע הסגור \(\left[a,b\right]\) עם יחס הביניים המושרה מ-\(\MKbbx\), הוא מרחב מכוון.
הוכחה. יהיו \(a,b\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq-b\). \(\left[a,b\right]\) מקיים אי-התפצלות לפי משפט non_branching. בנוסף, מהלמה האחרונה (lemma_3.9) ומטריכוטומיה ספירית של \(\MKbbx\) נובע שהוא מקיים טריכוטומיה. נוכיח גם טרנזיטיביות חזקה: תהיינה \({\color{red}\boldsymbol{x}},{\color{blue}\boldsymbol{y}},{\color{green}\boldsymbol{z}},{\color{orange}\boldsymbol{w}}\in\left[a,b\right]\) ארבע נקודות, כך ש-\(\boldsymbol{{\color{blue}y}}\in\left(\boldsymbol{{\color{red}x}},\boldsymbol{{\color{green}z}}\right)\) ו-\(\boldsymbol{{\color{green}z}}\in\left(\boldsymbol{{\color{blue}y}},\boldsymbol{{\color{orange}w}}\right)\), לפי הלמה (lemma_3.9) מתקיים \(\boldsymbol{{\color{green}z}}\neq-\boldsymbol{{\color{red}x}}\), ולכן ע"פ spherical_strong_transitivity מתקיימת אחת מארבע האפשרויות הבאות:
\({\color{green}\boldsymbol{z}}\in\left({\color{red}\boldsymbol{x}},{\color{orange}\boldsymbol{w}}\right)\) - נרצה להוכיח שרק המקרה הזה אפשרי.
\(-\boldsymbol{{\color{red}x}}\in\left(\boldsymbol{{\color{green}z}},\boldsymbol{{\color{orange}w}}\right)\) - ע"פ טריכוטומיה ספירית מתקיים \(z\in\left[a,w\right]\) ו/או \(w\in\left[a,z\right]\), ובכל מקרה \(\left[z,w\right]\subseteq\left[a,z\right]\cup\left[a,w\right]\subseteq\left[a,b\right]\), כלומר \(-x\in\left[a,b\right]\) בסתירה ללמה (lemma_3.9).
מסקנה 3.11. לכל \(a,b\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq-b\), הקטע הסגור \(\left[a,b\right]\) הוא קבוצה קווית, וממילא גם הקטעים \(\left[a,b\right)\), \(\left(a,b\right]\) ו-\(\left(a,b\right)\) המוכלים בו הם קבוצות קוויות (מסקנה corollary_1.10).
טענה 3.12. תהיינה \(a,b,c\in\MKbbx\), התנאים הבאים שקולים:
\(-a\in\left[b,c\right]\)
\(-b\in\left[a,c\right]\)
\(-c\in\left[a,b\right]\)
\(a\in\left[-b,-c\right]\)
\(b\in\left[-a,-c\right]\)
\(c\in\left[-a,-b\right]\)
הוכחה. נניח ש-\(-a\in\left[b,c\right]\), ונוכיח ש-\(c\in\left[-a,-b\right]\) ו-\(-b\in\left[a,c\right]\). מהגדרה \(c\in\left[b,-b\right]\), ולכן מטרנזיטביות נובע ש-\(c\in\left[-a,-b\right]\). ושוב, מהגדרה מתקיים \(-b\in\left[-a,a\right]\), ולכן מטרנזיטביות נובע ש-\(-b\in\left[c,a\right]\). מהסימטריה בין שלוש הנקודות \(a,b,c\) נובע שאת כל הגרירות האחרות ניתן להוכיח באותו אופן.
הגדרה 3.13. נאמר ששלוש נקודות \(a,b,c\in\MKbbx\) הן משלימות, אם \(-a\in\left[b,c\right]\).
הגדרה 3.14. קבוצה \(S\subseteq\MKbbx\) תיקרא מעגלית אם לכל שלוש נקודות שונות ב-\(S\) אחת משתי הנקודות נמצאת בין שתי האחרות או ששלוש הנקודות משלימות. כמו כן, נאמר ש-\(n\) נקודות \(\MKseq x,n\in\MKbbx\) הן מעגליות, אם הקבוצה \(\left\{ \MKseq x,n\right\} \) מעגלית.
הגדרה 3.15. קבוצה מעגלית \(C\subseteq\MKbbx\) תיקרא מעגל אם היא קבוצה מעגלית מרבית, כלומר לכל קבוצה מעגלית \(S\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(C\subseteq S\) מתקיים \(S=C\).
מסקנה 3.16. כל קבוצה קווית היא קבוצה מעגלית.
מסקנה 3.17. תהא \(S\subseteq\MKbbx\), התנאים הבאים שקולים:
\(S\) מעגלית.
כל תת-קבוצה של \(S\) היא קבוצה מעגלית.
כל שלוש נקודות ב-\(S\) הן מעגליות.
3.2 דרך שתי נקודות שאינן אנטיפודיות עובר מעגל אחד ויחיד
טענה 3.18. לכל קבוצה מעגלית \(S\subseteq\MKbbx\), ולכל \(a\in S\), גם \(S\cup\left\{ -a\right\} \) היא קבוצה מעגלית.
הוכחה. תהיינה \(S\subseteq\MKbbx\) קבוצה מעגלית ו-\(a\in S\), ותהיינה גם \(x,y,z\in S\cup\left\{ -a\right\} \) שלוש נקודות. אם \(-a\notin\left\{ x,y,z\right\} \) אז \(\left\{ x,y,z\right\} \subseteq S\) ולכן \(x,y,z\) מעגליות (מסקנה corollary_3.17), לכן נניח בהג"כ ש-\(-a=z\). כעת נחלק למקרים (מהיות \(S\) קבוצה מעגלית נובע שאלו אכן כל המקרים):
אם \(-\left(-a\right)=a\in\left[x,y\right]\) אז \(\left\{ x,y,z\right\} =\left\{ x,y,-a\right\} \) מעגלית לפי הגדרה.
אם \(y\in\left[a,x\right]\) אז מהעובדה ש-\(x\in\left[a,-a\right]\) ומטרנזיטיביות נובע ש-\(x\in\left[y,-a\right]\) ו-\(\left\{ x,y,z\right\} =\left\{ x,y,-a\right\} \) קווית (היא מוכלת ב-\(\left[y,-a\right]\)) ובפרט מעגלית (מסקנה corollary_3.16).
המקרה שבו \(x\in\left[a,y\right]\) שקול למקרה הקודם.
אם \(x,y,a\) משלימות אז \(-a\in\left[x,y\right]\) (טענה claim_3.12) ושוב \(\left\{ x,y,z\right\} =\left\{ x,y,-a\right\} \) אפילו קווית.
ראינו ששלוש נקודות שרירותיות ב-\(S\cup\left\{ -a\right\} \) הן מעגליות ולכן ע"פ מסקנה corollary_3.17 גם \(S\cup\left\{ -a\right\} \) מעגלית.
למה 3.19. לכל \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq\pm b\), אם \(\left\{ a,b,c\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,d\right\} \) הן קבוצות מעגליות שאינן קוויות, אז גם \(\left\{ a,b,c,d\right\} \) היא קבוצה מעגלית.
הוכחה. תהיינה \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq\pm b\), ונניח ש-\(\left\{ a,b,c\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,d\right\} \) הן קבוצות מעגליות שאינן קוויות. אם כן, ע"פ טענה claim_3.12 מתקיים \(-c,-d\in\left[a,b\right]\), כלומר \(\left\{ a,b,-c,-d\right\} \) מוכלת ב-\(\left[a,b\right]\), ולכן היא קבוצה קווית (מסקנות corollary_3.11 ו-corollary_1.10) ובפרט מעגלית (מסקנה corollary_3.16). כעת נקבל מטענה claim_3.18 שהקבוצה \(\left\{ a,b,c,d,-c,-d\right\} \) מעגלית, ולכן גם \(\left\{ a,b,c,d\right\} \) כזו (מסקנה corollary_3.17).
למה 3.20. לכל \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq\pm b\), אם \(\left\{ a,b,c\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,d\right\} \) הן קבוצות מעגליות, אז גם \(\left\{ a,b,c,d\right\} \) היא קבוצה מעגלית.
למה 3.21.
הוכחה. תהיינה \(a,b,c,d\in\MKbbx\) כך ש-\(a\neq\pm b\), ונניח ש-\(\left\{ a,b,c\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,d\right\} \) הן קבוצות מעגליות. נניח בנוסף שבדיוק אחת מהן אינה קווית10אחרת מלמה lemma_2.8 וממסקנה corollary_3.16, או מלמה lemma_3.19, נקבל את המבוקש., נניח בהג"כ שזוהי \(\left\{ a,b,c\right\} \), ועוד נניח בהג"כ ש-\(d\in\left[a,b\right]\) ו/או \(b\in\left[a,d\right]\) (אך לא \(a\in\left(b,d\right)\)). מהיות \(\left\{ a,b,c\right\} \) מעגלית שאינה קווית נובע ש-\(-c\in\left[a,b\right]\) (טענה claim_3.12), אם כן נחלק למקרים:
אם \(d\in\left[a,b\right]\) אז מהגדרה \(\left\{ a,b,-c,d\right\} \subseteq\left[a,b\right]\).
ואם \(b\in\left[a,d\right]\) אז \(\left[a,b\right]\subseteq\left[a,d\right]\) (מסקנה corollary_1.4), ומכאן ש-\(\left\{ a,b,-c,d\right\} \subseteq\left[a,d\right]\).
מכאן ש-\(\left\{ a,b,-c,d\right\} \) היא קבוצה קווית (מסקנות corollary_3.11 ו-corollary_1.10) ובפרט מעגלית (מסקנה corollary_3.16). לפיכך גם \(\left\{ a,b,c,d,-c\right\} \) מעגלית (טענה claim_3.18), וממילא גם \(\left\{ a,b,c,d\right\} \) כזו (מסקנה corollary_3.17).
משפט 3.22. יהי \(\MKcls\subseteq\MKclp\left(\MKbbx\right)\) אוסף של קבוצות מעגליות. אם קיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) שאינן אנטיפודיות, כך ש-\(a,b\in S\) לכל \(S\in\MKcls\), אז \({\displaystyle \bigcup_{S\in\MKcls}S}\) היא קבוצה מעגלית.
הוכחה. נניח שקיימות שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) שאינן אנטיפודיות כך ש-\(a,b\in S\) לכל \(S\in\MKcls\), ותהיינה \(a,b\in\MKbbx\) כאלה. תהיינה \(x,y,z\in\bigcup_{S\in\MKcls}S\), ע"פ הלמה (lemma_3.20) \(\left\{ a,b,x,y\right\} \) ו-\(\left\{ a,b,x,z\right\} \) מעגליות, וממילא \(\left\{ b,x,y\right\} \) ו-\(\left\{ b,x,z\right\} \) גם הן מעגליות. ושוב נקבל מהלמה ש-\(\left\{ b,x,y,z\right\} \) מעגלית וממילא \(\left\{ x,y,z\right\} \) מעגלית. \(x,y,z\) היו שרירותיות ולכן ע"פ מסקנה corollary_3.17 הקבוצה \(\bigcup_{S\in\MKcls}S\) מעגלית.
מסקנה 3.23. לכל שתי נקודות שונות \(a,b\in\MKbbx\) שאינן אנטיפודיות, קיים מעגל יחיד \(C\subseteq\MKbbx\) כך ש-\(a,b\in C\). ובאופן שקול: לכל שני מעגלים שונים יש לכל היותר שתי נקודות חיתוך, ובמקרה כזה אלו נקודות אנטיפודיות.
3.3 במרחבים מטריים
נניח שיחס הביניים על \(\MKbbx\) מושרה ע"י מטריקה \(d:\MKbbx\times\MKbbx\rightarrow\MKreal\).
טענה 3.24. לכל שתי נקודות \(x,y\in\MKbbx\) מתקיים \(d\left(x,-x\right)=d\left(y,-y\right)\).
הוכחה. תהיינה \(x,y\in\MKbbx\) שתי נקודות, נניח בשלילה ש-\(d\left(x,-x\right)\neq d\left(y,-y\right)\), ונניח בהג"כ ש-\(d\left(x,-x\right)<d\left(y,-y\right)\). מהגדרה מתקיים \(\pm x\in\left[y,-y\right]\) ו-\(\pm y\in\left[x,-x\right]\), כלומר:\[\begin{align*}
{\color{red}d\left(x,y\right)}+d\left(y,-x\right) & =d\left(x,-x\right)<d\left(y,-y\right)={\color{red}d\left(y,x\right)}+d\left(x,-y\right)\\
d\left(x,-y\right)+{\color{red}d\left(-y,-x\right)} & =d\left(x,-x\right)<d\left(y,-y\right)=d\left(y,-x\right)+{\color{red}d\left(-x,-y\right)}
\end{align*}\]מהשורה הראשונה נובע ש-\(d\left(y,-x\right)<d\left(x,-y\right)\), ואילו מהשורה השנייה ניתן להסיק ש-\(d\left(x,-y\right)<d\left(y,-x\right)\) - זו סתירה.
מסקנה 3.25. קיים \(\pi\in\MKreal\) כך ש-\(d\left(x,-x\right)=\pi\) לכל \(x\in\MKbbx\).